Question

12．已知直線l的方程為y=x+2，點(diǎn)P是拋物線y²=4x上到直線l距離最小的點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線上異于點(diǎn)P的點(diǎn)，直線AP與直線l交于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q與x軸平行的直線與拋物線y²=4x交于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）證明直線AB恒過定點(diǎn)，并求這個定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用點(diǎn)到直線的距離公式，求出最小值，然后求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，顯然y₁≠2．通過當(dāng)y₁=-2時，求出直線AP的方程為x=1；當(dāng)y₁≠-2時，求出直線AP的方程，然后求出Q的坐標(biāo)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，解出直線AB的斜率，推出AB的方程，判斷直線AB恒過定點(diǎn)推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），則$y_0^2=4{x_0}$，
所以，點(diǎn)P到直線l的距離$d=\frac{{|{{x_0}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{\frac{y_0^2}{4}-{y_0}+2}|}}{{\sqrt{2}}}=\frac{{|{{{（{{y_0}-2}）}^2}+4}|}}{{4\sqrt{2}}}≥\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)y₀=2時等號成立，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（{\frac{y_1^2}{4}，{y_1}}）$，顯然y₁≠2．
當(dāng)y₁=-2時，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），直線AP的方程為x=1；可得B（$\frac{9}{4}$，3），直線AB：y=4x-6；
當(dāng)y₁≠-2時，直線AP的方程為$y-2=\frac{{{y_1}-2}}{{\frac{y_1^2}{4}-1}}（{x-1}）$，
化簡得4x-（y₁+2）y+2y₁=0；
綜上，直線AP的方程為4x-（y₁+2）y+2y₁=0．
與直線l的方程y=x+2聯(lián)立，可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為${y_Q}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
因?yàn)椋珺Q∥x軸，所以B點(diǎn)的縱坐標(biāo)為${y_B}=\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}$．
因此，B點(diǎn)的坐標(biāo)為$（{\frac{{{{（{{y_1}-4}）}^2}}}{{{{（{{y_1}-2}）}^2}}}，\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}}）$．
當(dāng)$\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}≠-{y_1}$，即$y_1^2≠8$時，直線AB的斜率$k=\frac{{{y_1}-\frac{{2{y_1}-8}}{{{y_1}-2}}}}{{\frac{y_1^2}{4}-\frac{{{{（{{y_1}-4}）}^2}}}{{{{（{{y_1}-2}）}^2}}}}}=\frac{{4{y_1}-8}}{y_1^2-8}$．
所以直線AB的方程為$y-{y_1}=\frac{{4{y_1}-8}}{y_1^2-8}（{x-\frac{y_1^2}{4}}）$，
整理得$（{y-2}）y_1^2-4（{x-2}）{y_1}+8（{x-y}）=0$．
當(dāng)x=2，y=2時，上式對任意y₁恒成立，
此時，直線AB恒過定點(diǎn)（2，2），也在y=4x-6上，
當(dāng)$y_1^2=8$時，直線AB的方程為x=2，仍過定點(diǎn)（2，2），
故符合題意的直線AB恒過定點(diǎn)（2，2）．…（13分）

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線方程、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般，分類與整合等數(shù)學(xué)思想．