Question

設(shè)點A（3，

5

2

），B（4，

3

），C（-3，-

5

2

），D（5，0），其中三點在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0）上，另一點在直線l上．
（1）求雙曲線方程；
（2）設(shè)直線l的斜率存在且為k，它與雙曲線的同一支分別交于兩點E、F，M、N分別為雙曲線的左、右頂點，求滿足條件

EN

•

FM

+

EM

•

FN

=32的k值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，A，B，C在雙曲線上，代入雙曲線方程，可求雙曲線方程；
（2）直線y=k（x-5）代入雙曲線方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積公式，利用條件，即可求出k的值．

解答： 解：（1）由題意，A，B，C在雙曲線上，代入雙曲線方程，
可得

9 a2 - 5 4b2 =1 16 a2 - 3 b2 =1

，∴a=2，b=1，
∴雙曲線方程為

x2

4

-y²=1；
（2）由題意，M（-2，0）、N（2，0），且直線l與雙曲線的右支分別交于兩點E、F，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），且y₁＜0，y₂＞0．
直線y=k（x-5）代入雙曲線方程可得（1-4k²）x²+40k²x-100k²-4=0，則k²＞

1

4

x₁+x₂=-

40k2

1-4k2

，x₁x₂=-

100k2+4

1-4k2

，y₁y₂=k²（x₁-5）（x₂-5），

EN

•

FM

+

EM

•

FN

=-（2-x₁）（2+x₂）+y₁y₂-（2+x₁）（2-x₂）+y₁y₂=-8+2x₁x₂+2y₁y₂=-8-

158k2+8

1-4k2

，
令-8-

158k2+8

1-4k2

=32，可得k=±2

6

，滿足題意．

點評：本題考查雙曲線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，考查學(xué)生的計算能力，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．