【題目】(1)某圓錐的側(cè)面展開圖為圓心角為,面積為的扇形,求該圓錐的表面積和體積.
(2)已知直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形,且該三棱柱的外接球的表面積為,求該三棱柱的體積.
【答案】(1); (2) .
【解析】
(1)設(shè)圓錐的底面半徑、母線長(zhǎng)分別為,利用扇形的面積公式求得,利用圓錐的表面積和體積公式,即可求解;
(2)設(shè)球半徑為,上,下底面中心設(shè)為,由題意,外接球心為的中點(diǎn),根據(jù)三棱柱的外接球的表面積,列出方程,求得棱柱的高,利用體積公式,即可求解.
(1)設(shè)圓錐的底面半徑、母線長(zhǎng)分別為,
則,解得
所以圓錐的高為,得表面積是,體積是
(2)設(shè)球半徑為R,上,下底面中心設(shè)為M,N,由題意,外接球心為MN的中點(diǎn),
設(shè)為O,則OA=R,由4πR2=12π,得R=OA=,又易得AM=,
由勾股定理可知,OM=1,所以MN=2,即棱柱的高h(yuǎn)=2,
所以該三棱柱的體積為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2013年1月,北京經(jīng)歷了59年來霧霾天氣最多的一個(gè)月.據(jù)氣象局統(tǒng)計(jì),北京市2013年1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣,《環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)技術(shù)規(guī)定(試行)》如表1:
表1 空氣質(zhì)量指數(shù)AQI分組表
AQI指數(shù)M | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
級(jí)別 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ |
狀況 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
表2是某氣象觀測(cè)點(diǎn)記錄的連續(xù)4天里AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y(km)的情況,表3是某氣象觀測(cè)點(diǎn)記錄的北京市2013年1月1日至1月30日的AQI指數(shù)頻數(shù)分布表.
表2 AQI指數(shù)M與當(dāng)天的空氣水平可見度y(km)的情況
AQI指數(shù)M | 900 | 700 | 300 | 100 |
空氣水平可見度y(km) | 0.5 | 3.5 | 6.5 | 9.5 |
表3 北京市2013年1月1日至1月30日AQI指數(shù)頻數(shù)分布表
AQI指數(shù)M | [0,200) | [200,400) | [400,600) | [600,800) | [800,1000] |
頻數(shù) | 3 | 6 | 12 | 6 | 3 |
(1)設(shè)x=,根據(jù)表2的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程.
(參考公式:,.)
(2)小王在北京開了一家洗車店,經(jīng)小王統(tǒng)計(jì):當(dāng)AQI指數(shù)低于200時(shí),洗車店平均每天虧損約2000元;當(dāng)AQI指數(shù)在200至400時(shí),洗車店平均每天收入約4000元;當(dāng)AQI指數(shù)不低于400時(shí),洗車店平均每天收入約7000元.
①估計(jì)小王的洗車店在2013年1月份平均每天的收入;
②從AQI指數(shù)在[0,200)和[800,1000]內(nèi)的這6天中抽取2天,求這2天的收入之和不低于5000元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=ln(x2﹣2x﹣8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(﹣∞,﹣2)
B.(﹣∞,﹣1)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C: +y2=1上,過M做x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足 = .
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=﹣3上,且 =1.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由一長(zhǎng)方形和一拋物線構(gòu)成,如圖所示.為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有米.若行車道總寬度為米.
(1)計(jì)算車輛通過隧道時(shí)的限制高度;
(2)現(xiàn)有一輛載重汽車寬米,高米,試判斷該車能否安全通過隧道?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sin(2x+ ),則下面結(jié)論正確的是( 。
A.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
B.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
C.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
D.把C1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度,得到曲線C2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率為,過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線斜率為0時(shí),.
(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增,共燈三百八十一,請(qǐng)問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A.1盞
B.3盞
C.5盞
D.9盞
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