Question

9．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$．
（1）設(shè)點P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{3}）$，求點P到直線l的距離；
（2）直線l與曲線C交于A，B兩點，求AB的中點到點M（0，1）的距離．

Answer 1

分析 （1）先求出直線l的普通方程和點P的直角坐標(biāo)，由此利用點到直線的距離公式能求出點P到直線l的距離．
（2）求出曲線C的直角坐標(biāo)方程，與直線l聯(lián)立，得4x²-2x-1=0，由韋達定理求出AB的中點坐標(biāo)，由此利用兩點間距離公式能求出AB的中點到點M（0，1）的距離．

解答 解：（1）∵直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t+1\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
∴直線l的普通方程為y=$\sqrt{3}x$+1，
∵點P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{3}）$，∴點P的直角坐標(biāo)為P（2，2$\sqrt{3}$），
∴點P到直線l的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$．
（2）∵曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ-\frac{π}{4}}）$=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y，即（x-1）²+（y-1）²=2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+1}\\{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=2}\end{array}\right.$，得4x²-2x-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{1}{2}$，y₁+y₂=$\sqrt{3}（{x}_{1}+{x}_{2}）+2$=$\frac{\sqrt{3}}{2}+2$，
∴AB的中點Q（$\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}+1$），
∴AB的中點到點M（0，1）的距離|MQ|=$\sqrt{（\frac{1}{4}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查點到直線的距離和線段中間到點的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程間的相互轉(zhuǎn)化的合理運用．