已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上．若橢圓上的點到焦點、的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓的方程和焦點坐標；
（2）過點的直線與橢圓交于兩點、，當的面積取得最大值時，求直線的方程．

（1）橢圓C的方程為，焦點坐標為， 
（2）MN方程為x=1．

解析試題分析：（1）橢圓C的方程為，焦點坐標為，  
（2）MN斜率不為0，設MN方程為．             
聯(lián)立橢圓方程：可得            
記M、N縱坐標分別為、，
則       
設
則，該式在單調遞減，所以在，即時取最大值．
考點：本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系
點評：橢圓的概念和性質，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關的綜合題仍是今后命題的重點

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知兩點及，點在以、為焦點的橢圓上，且、、 構成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，動直線與橢圓有且僅有一個公共點，點是直線上的兩點，且，． 求四邊形面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的對稱軸為坐標軸,焦點是（0，），（0，），又點在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線的斜率為,若直線與橢圓交于、兩點,求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓．
（Ⅰ）設橢圓的半焦距，且成等差數(shù)列，求橢圓的方程；
（Ⅱ）設（1）中的橢圓與直線相交于兩點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．
（I）求橢圓的方程；
（II）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為、．點為直線上且不在軸上的任意一點，直線和與橢圓的交點分別為、和、，為坐標原點．設直線、的斜率分別為、．

（i）證明：；
（ii）問直線上是否存在點，使得直線、、、的斜率、、、滿足？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

橢圓與軸負半軸交于點，為橢圓第一象限上的點，直線交橢圓于另一點，橢圓左焦點為，連接交于點D。
（1）如果，求橢圓的離心率； 
（2）在（1）的條件下，若直線的傾斜角為且△ABC的面積為，求橢圓的標準方程。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+ 相切.
(1)求橢圓的方程；
(2)設直線與橢圓在軸上方的一個交點為，是橢圓的右焦點，試探究以為
直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系.

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