Question

14．已知（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}$）n展開式中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為256，求展開式中x的二項式系數(shù)和項的系數(shù)．

Answer 1

分析 由二項式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為256，即可得2^n-1=256，解可得n=9，進而可得$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式的通項，由此可得展開式中x的二項式系數(shù)和項的系數(shù)．

解答 解：由二項式式$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為256，得2^n-1=256，
即n=9，
則$（\sqrt{x}-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{n}$的展開式的通項為T_r+1=C₉^r$（\sqrt{x}）^{9-r}（-\frac{2}{\root{3}{{x}^{2}}}）^{r}$=（-2）^rC₉^r${x}^{\frac{27-7r}{6}}$．
由$\frac{27-7r}{6}=1$，解得：r=3．
∴展開式中含x的項是第4項，其二項式系數(shù)為${C}_{9}^{3}$=84，項的系數(shù)為$（-2）^{3}{C}_{9}^{3}$=-672．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質，關鍵是由題意中偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和求出n值，是基礎題．