Question

8．已知拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的通徑長為4，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過拋物線C₂的焦點．
（1）求拋物線C₂和橢圓C₁的方程；
（2）已知圓M過定點D（0，2），圓心M在C₂軌跡上運動，且圓M與x軸交于A、B兩點，設|DA|=m，|DB|=n，求$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的通徑長為4，得p=2，由此能求出拋物線C₂的方程．由題意C₂焦點坐標為（0，1），e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）先利用條件設出圓的方程，并求出A、B兩點的坐標以及|DA|=m，|DB|=n的表達式，代入$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$整理后利用基本不等式求最大值即可．

解答 解：（1）∵拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的通徑長為4，
∴2p=4，解得p=2，
∴拋物線C₂的方程為x²=4y．
由題意C₂焦點坐標為（0，1），
∴b=1，
∵離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得a=2，
∴橢圓C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
（2）設圓M的圓心坐標為M（a，b），則a²=4b．①
圓M的半徑為|MD|=$\sqrt{{a}^{2}+（b-2）^{2}}$．
圓M的方程為（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，則（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨設A（a-2，0），B（a+2，0），
∴m=$\sqrt{（a-2）^{2}+4}$，n=$\sqrt{（a+2）^{2}+4}$．
∴$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$=$\frac{2{a}^{2}+16}{\sqrt{{a}^{4}+64}}$=$\sqrt{1+\frac{16{a}^{2}}{{a}^{4}+64}}$，③
當a≠0時，由③得，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$=$\sqrt{1+\frac{16}{{a}^{2}+\frac{64}{{a}^{2}}}}$≤2$\sqrt{2}$．
當且僅當a=±2$\sqrt{2}$時，等號成立．
當a=0時，由③得，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$=2．
故當a=±2$\sqrt{2}$時，$\frac{m}{n}+\frac{n}{m}$的最大值為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線方程和橢圓方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，考查三角形面積最大值的求法，解題時要認真審題，注意直線和圓錐曲線的位置關系的靈活運用．