Question

15．中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田塊的開采權(quán)，集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分幾口井，取得了地質(zhì)資料．進(jìn)入全面勘探時(shí)期后，集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)米布置井位進(jìn)行全面勘探．由于勘探一口井的費(fèi)用很高，如果新設(shè)計(jì)的井位與原有井位重合或接近，便利用舊井的地質(zhì)資料，不必打這口新井，以節(jié)約勘探費(fèi)用，勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表：

井號(hào)I	1	2	3	4	5	6
坐標(biāo)（x，y）（km）	（2，30）	（4，40）	（5，60）	（6，50）	（8，70）	（1，y）
鉆探深度（km）	2	4	5	6	8	10
出油量（L）	40	70	110	90	160	205

（Ⅰ）1～6號(hào)舊井位置線性分布，借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a，求a，并估計(jì)y的預(yù)報(bào)值；
（Ⅱ）現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7（1，25），若通過1、3、5、7號(hào)井計(jì)算出的$\widehat$，$\widehat{a}$的值（$\widehat$，$\widehat{a}$精確到0.01）與（I）中b，a的值差不超過10%，則使用位置最接近的已有舊井6（1，y），否則在新位置打開，請(qǐng)判斷可否使用舊井？（參考公式和計(jì)算結(jié)果：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$，$\sum_{i=1}^{4}{{x}_{2i-1}}^{2}$=94，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945）
（Ⅲ）設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用前5組數(shù)據(jù)與平均數(shù)的計(jì)算公式可得$\overline{x}$=5，$\overline{y}$=50，代入y=6.5x+a，可得a，進(jìn)而定點(diǎn)y的預(yù)報(bào)值．
（Ⅱ）根據(jù)計(jì)算公式可得$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$≈10.25，$\widehat{a}$=5.25，$\widehat$=10.25，計(jì)算可得并且判斷出結(jié)論．
（Ⅲ）由題意，1、3、5、6這4口井是優(yōu)質(zhì)井，2，4這兩口井是非優(yōu)質(zhì)井，勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的可能取值為2，3，4，P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{4-k}}{{∁}_{6}^{4}}$，可得X的分布列及其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）利用前5組數(shù)據(jù)得到$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5，$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+60+50+70）=50，
∵y=6.5x+a，
∴a=50-6.5×5=17.5，
∴回歸直線方程為y=6.5x+17.5，
當(dāng)x=1時(shí)，y=6.5+17.5=24，
∴y的預(yù)報(bào)值為24．
（Ⅱ）∵$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=46.25，$\sum_{i=1}^{4}$${x}_{2i-1}^{2}$=84，$\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}$=945，
∴$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}{y}_{2i-1}-4\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{4}{x}_{2i-1}^{2}-4{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{945-4×4×46.25}{84-4×{4}^{2}}$≈10.25，
∴$\widehat{a}$=46.25-10.25×4=5.25，
即$\widehat$=10.25，$\widehat{a}$=5.25，b=6.5，a=17.5，$\frac{10.25-6.5}{6.5}$≈57%，$\frac{17.5-5.25}{17.5}$≈70%，均超過10%，
∴均超過10%，∴不可使用位置最接近的已有舊井6（1，24）．
（Ⅲ）由題意，1、3、5、6這4口井是優(yōu)質(zhì)井，2，4這兩口井是非優(yōu)質(zhì)井，
∴勘察優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的可能取值為2，3，4，
P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{4-k}}{{∁}_{6}^{4}}$，可得P（X=2）=$\frac{2}{5}$，P（X=3）=$\frac{8}{15}$，P（X=4）=$\frac{1}{15}$．
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

EX=2×$\frac{2}{5}$+3×$\frac{8}{15}$+4×$\frac{1}{15}$=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了頻率分布直方圖的性質(zhì)、超幾何分布列的概率與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．