Question

已知平面直角坐標系xOy，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，P點的極坐標為（2

2

，-

π

4

），曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．
（1）寫出點P的直角坐標及曲線C的普通方程；
（2）若Q為C上的動點，求PQ中點M到直線l：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）距離的最小值．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：選作題,坐標系和參數(shù)方程

分析：（1）利用極坐標與直角坐標的互化方法，可得結(jié)論；
（2）把直線的參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)曲線C的參數(shù)方程設出Q的坐標，利用中點坐標公式表示出M的坐標，利用點到直線的距離公式表示出M到已知直線的距離，利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡后，利用正弦函數(shù)的值域即可得到距離的最小值．

解答： 解：（1）P點的極坐標為（2

2

，-

π

4

），所以直角坐標為（2，-2）；
曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ，直角坐標方程為x²+（y-2）²=4；
（2）曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosθ y=2+2sinθ

（θ為參數(shù)），直線l：

x=3+2t y=-2+t

（t為參數(shù)）的普通方程為x-2y-7=0．
設Q的坐標為Q（2cosθ，2+2sinθ），故M（1+cosθ，sinθ）
所以M到直線的距離d=

|1+cosθ-2sinθ-7|

5

=

5 sin(θ-α)+6

5

≥

6 5

5

-1，
所以M到直線的距離的最小值為

6 5

5

-1．

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點到直線的距離公式的應用，正弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題．