Question

【題目】已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分圖象如圖所示；
（1）求ω，φ；
（2）將y=f（x）的圖象向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）的圖象，若y=g（x）圖象的一個對稱點為（ ，0），求θ的最小值．
（3）對任意的x∈[ ， ]時，方程f（x）=m有兩個不等根，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據函數f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣ ＜φ＜ ）的部分圖象，可得 = ，

求得ω=2．

再根據五點法作圖可得2 +φ= ，求得φ=﹣ ，∴f（x）=2sin（2x﹣ ）

（2）解：將y=f（x）的圖象向左平移θ（θ＞0）個單位長度，得到y(tǒng)=g（x）=2sin[2（x+θ）﹣ ]=2sin（2x+2θ﹣ ）的圖象，

∵y=g（x）圖象的一個對稱點為（ ，0），∴2 +2θ﹣ =kπ，k∈Z，∴θ= ﹣ ，故θ的最小正值為

（3）解：對任意的x∈[ ， ]時，2x﹣ ∈[ ， ]，sin（2x﹣ ）∈[﹣ ，1]，即f（x）∈[﹣ ，2]，

∵方程f（x）=m有兩個不等根，結合函數f（x），x∈[ ， ]時的圖象可得，1≤m＜2．

【解析】（1）用五點法做函數y=Asin（ωx+φ）在一個周期上的簡圖．（2）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象的對稱性，求得θ的最小正值．（3）利用正弦函數的定義域和值域，結合函數f（x）的圖象，求得m的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換(圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象)．