Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（1）當(dāng)a=-$\sqrt{2}$時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函數(shù)的增區(qū)間（或減區(qū)間），在求單調(diào)區(qū)間時(shí)要注意函數(shù)的定義域以及對(duì)參數(shù)a的討論情況

解答 解：（1）當(dāng)a=-$\sqrt{2}$時(shí)，f（x）=x³-3$\sqrt{2}$x²+3x+1，
∴f′（x）=3x²-6$\sqrt{2}$x+3，
令f′（x）=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，或x=$\sqrt{2}$+1，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＜$\sqrt{2}$-1，或x＞$\sqrt{2}$+1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即$\sqrt{2}$-1＜x＜$\sqrt{2}$+1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述，函數(shù)f（x）在（-∞，$\sqrt{2}$-1），（$\sqrt{2}$+1，+∞）上單調(diào)遞增，在（$\sqrt{2}$-1，$\sqrt{2}$+1）上單調(diào)遞減；
（2）∵f（x）=x³+3ax²+3x+1，
∴f′（x）=3x²-6ax+3，
當(dāng)△=36a²-36≤0時(shí)，即-1≤a≤1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，故函數(shù)在R上為增函數(shù)，
當(dāng)△=36a²-36＞0時(shí)，即a＜-1，或a＞1時(shí)，
令f′（x）=0，解得x=a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，或a=a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即x＜a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，或x＞a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$＜x＜a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上所述，當(dāng)1≤a≤1時(shí)，函數(shù)在R上為增函數(shù)，
當(dāng)a＜-1，或a＞1時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$），（a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（a-$\sqrt{{a}^{2}-1}$，a+$\sqrt{{a}^{2}-1}$）上單調(diào)遞減；

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問(wèn)題，屬于中檔題