Question

2．已知函數(shù)f（x）=ae^-x-x+1，a∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當x∈（0，+∞）時，求證：2e^-x-2＜$\frac{1}{2}$x²-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），f（x）＜0恒成立，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值即可證明不等式．

解答 解：（Ⅰ）因為f（x）=ae^-x-x+1，a=1，
所以f（x）=e^-x-x+1．所以f'（x）=-e^-x-1．
所以f（0）=2，f'（0）=-2．
所以切線方程是y-2=-2x，即2x+y-2=0．
（Ⅱ）由f（x）＜0可得ae^-x-x+1＜0．
所以a＜（x-1）e^x．
令g（x）=（x-1）e^x．所以g'（x）=xe^x＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上單調遞增．
所以-1＜g（x）＜0．所以a≤-1．
（Ⅲ）令$h（x）=2{e^{-x}}-2-\frac{1}{2}{x^2}+x$．
所以h'（x）=-2e^-x-x²+1．…（9分）
由（Ⅱ）可知，當a=-2時，f（x）=-2e^-x-x+1＜0．
所以h'（x）＜0．
所以h（x）在（0，+∞）上單調遞減．
所以h（x）＜h（0）=0．
所以$2{e^{-x}}-2＜\frac{1}{2}{x^2}-x$．

點評 本題主要考查導數(shù)的幾何意義以及導數(shù)的綜合應用，要求熟練掌握函數(shù)單調性，最值和導數(shù)之間的關系，考查學生的運算和推理能力．