Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且滿足12S_n-36=3n²+8n，數(shù)列{log₃b_n}為等差數(shù)列，且b₁=3，b₃=27．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=（-1）ⁿ$（{{a_n}-\frac{5}{12}}）+{b_n}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由題意得${S_n}=\frac{1}{4}{n^2}+\frac{2}{3}n+3$，可得a₁=$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+3$，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1．可得a_n．設(shè)等差數(shù)列{log₃b_n}的公差為d，且b₁=3，b₃=27．可得2d=log₃27-log₃3．可得b_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${c_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}，n=1\\{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}，n≥2.\end{array}\right.$當(dāng)n=1，${T_1}=-\frac{1}{2}$．當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=$-\frac{1}{2}+（\frac{2}{2}+{3^2}）+（-\frac{3}{2}+{3^3}）+（\frac{4}{2}+{3^4}）+…+[{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}]$
=$-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}-…+{（-1）^n}•\frac{n}{2}+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 解：（1）由題意得${S_n}=\frac{1}{4}{n^2}+\frac{2}{3}n+3$，∴a₁=$\frac{1}{4}+\frac{2}{3}+3$=$\frac{47}{12}$，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{4}{n}^{2}+\frac{2}{3}n+3$-$\frac{1}{4}（n-1）^{2}$-$\frac{2}{3}n$+$\frac{2}{3}$-3=$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{12}$，
又$\frac{1}{2}+\frac{5}{12}$=$\frac{11}{12}$≠$\frac{47}{12}$，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{47}{12}，n=1}\\{\frac{n}{2}+\frac{5}{12}，n≥2}\end{array}\right.$．
設(shè)等差數(shù)列{log₃b_n}的公差為d，且b₁=3，b₃=27．
∴2d=log₃27-log₃3=3-1，解得d=1．
∴l(xiāng)og₃b_n=log₃3+（n-1）=n，
∴b_n=3ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${c_n}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}，n=1\\{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}，n≥2.\end{array}\right.$
當(dāng)n=1，${T_1}=-\frac{1}{2}$．
當(dāng)n≥2時(shí)，T_n=$-\frac{1}{2}+（\frac{2}{2}+{3^2}）+（-\frac{3}{2}+{3^3}）+（\frac{4}{2}+{3^4}）+…+[{（-1）^n}•\frac{n}{2}+{3^n}]$
=$-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}-…+{（-1）^n}•\frac{n}{2}+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，${T_n}=-\frac{1}{2}+（\frac{2}{2}-\frac{3}{2}）+（\frac{4}{2}-\frac{5}{2}）+…+（\frac{n-1}{2}-\frac{n}{2}）+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$
=$-\frac{1}{2}+（-\frac{1}{2}）（\frac{n-1}{2}）+\frac{{{3^2}（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}=-\frac{19}{4}-\frac{n}{4}+\frac{{{3^{n+1}}}}{2}$，n=1適合此式；
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，${T_n}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{2}+（-\frac{3}{2}+\frac{4}{2}）+（-\frac{5}{2}+\frac{6}{2}）+…+（-\frac{n-1}{2}+\frac{n}{2}）+（{3^2}+{3^3}+…+{3^n}）$
=$\frac{1}{2}•\frac{n}{2}+\frac{{{3^2}（1-{3^{n-1}}）}}{1-3}=-\frac{9}{2}+\frac{n}{4}+\frac{{{3^{n+1}}}}{2}$，
綜上，T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{19}{4}-\frac{n}{4}+\frac{{3}^{n+1}}{2}，n為奇數(shù)}\\{-\frac{9}{2}+\frac{n}{4}+\frac{{3}^{n+1}}{2}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．