Question

9．在△ABC中，角A，B，C的對邊是a，b，c，已知2b-c=2acosC．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若4（b+c）=3bc，a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （I）由2b-c=2acosC，利用余弦定理可得：2b-c=2a×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，化為：b²+c²-a²=bc，再利用余弦定理即可得出．
（II）由a=2$\sqrt{3}$，b²+c²-a²=bc，可得b²+c²-12=bc，與聯立4（b+c）=3bc，解得：bc，利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（I）∵2b-c=2acosC，∴2b-c=2a×$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
化為：b²+c²-a²=bc，
∴bc=2bccosA，可得cosA=$\frac{1}{2}$，A∈（0，π），
解得A=$\frac{2π}{3}$．
（II）∵a=2$\sqrt{3}$，b²+c²-a²=bc，
∴b²+c²-12=bc，
與聯立4（b+c）=3bc，解得：bc=$\frac{16}{3}$．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．