Question

12．如圖，正方形ABCD的邊長等于2，平面ABCD⊥平面ABEF，AF∥BE，BE=2AF=2，EF=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）求三棱錐C-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)BD，記AC∩BD=O，取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG、FG，推導(dǎo)出四邊形AOGF是平行四邊形，從而AC∥FG，由此能證明AC∥平面DEF．
（Ⅱ）在面ABEF中，過F作FH∥AB，交BE于點(diǎn)H，推導(dǎo)出FE⊥EB，從而FE⊥AF，三棱錐C-DEF的體積V_C-DEF=V_A-DEF=V_D-AEF，由此能求出三棱錐C-DEF的體積．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，記AC∩BD=O，取DE的中點(diǎn)G，連結(jié)OG、FG，
∵點(diǎn)O、G分別是BD和ED的中點(diǎn)，∴OG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BE，
又AF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}BE$，∴OG$\underset{∥}{=}$AF，∴四邊形AOGF是平行四邊形，
∴AO∥FG，即AC∥FG，
又AC?面DEF，F(xiàn)G?平面DEF，
∴AC∥平面DEF．
解：（Ⅱ）在面ABEF中，過F作FH∥AB，交BE于點(diǎn)H，
由已知條件知，在梯形ABEF中，AB=FH=2，EF=$\sqrt{3}$，EH=1，
∴FH²=EF²+EH²，即FE⊥EB，從而FE⊥AF，
∵AC∥平面DEF，∴點(diǎn)C到平面DEF的距離為AF=BH=2-1=1，∠AFE=90°，
∴${S}_{△AEF}=\frac{1}{2}×AF×EF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴三棱錐C-DEF的體積V_C-DEF=V_A-DEF=V_D-AEF=$\frac{1}{3}×{S}_{△AEF}×AD$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．