Question

兩千多年前，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來表示數(shù)，按照點(diǎn)或小石子能排列的形狀對(duì)數(shù)進(jìn)行分類，如圖中的實(shí)心點(diǎn)個(gè)數(shù)1，5，12，22，…，被稱為五角形數(shù)，其中第1個(gè)五角形數(shù)記作a₁=1，第2個(gè)五角形數(shù)記作a₂=5，第3個(gè)五角形數(shù)記作a₃=12，第4個(gè)五角形數(shù)記作a₄=22，…，若按此規(guī)律繼續(xù)下去，若a_n=145，則n=

10

．

Answer 1

分析：根據(jù)題目所給出的五角形數(shù)的前幾項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的特點(diǎn)是，從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，寫出對(duì)應(yīng)的n-1個(gè)等式，然后用累加的辦法求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后代入項(xiàng)求項(xiàng)數(shù)．

解答：解：a₂-a₁=5-1=4，a₃-a₂=12-5=7，a₄-a₃=22-12=10，…，由此可知數(shù)列{a_n+1-a_n}構(gòu)成以4為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列．
所以a_n+1-a_n=4+3（n-1）=3n+1．
a₂-a₁=3×1+1
a₃-a₂=3×2+1
…
a_n-a_n-1=3（n-1）+1
累加得：a_n-a₁=3（1+2+…+（n-1））+n-1
所以an=a1+3

n(n-1)

2

+n-1=1+

3n(n-1)

2

+n-1=

3n2-n

2

．
由an=

3n2-n

2

=145，解得：n=-

29

3

(舍)，或n=10．
故答案為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解答此題的關(guān)鍵是能夠由數(shù)列的前幾項(xiàng)分析出數(shù)列的特點(diǎn)，即從第二項(xiàng)起，每一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，本題訓(xùn)練了一種求數(shù)列通項(xiàng)的重要方法--累加法．