Question

已知函數(shù)f（x）=3-log₂x，x∈[1，16]，求y=[f（x）]²+f（x²）的值域．

Answer 1

考點：復合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：本題先求出x取值范圍，即新函數(shù)的定義域，再利用換元法將原函數(shù)轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，求出相應函數(shù)在區(qū)間上的值域，得到本題結論．

解答： 解：∵函數(shù)y=f（x），x∈[1，16]，
∴y=[f（x）]²+f（x²）中x滿足：

1≤x≤16 1≤x2≤16

，
∴x∈[1，4]．
∵函數(shù)f（x）=3-log₂x，
∴y=[f（x）]²+f（x²）
=（3-log₂x）²+3-log₂x²
=(log2x)2-8log2x+12．
設log₂x=t，t∈[0，2]．
y=g（t）=t²-8t+12=（t-4）²-4，
∴g（2）≤g（t）≤g（0）．
∴0≤g（t）≤12．
∴y=[f（x）]²+f（x²）的值域為[0，12]．

點評：本題考查了二次函數(shù)的值域，還考查了換元思想，本題要注意新函數(shù)的定義域，這是本題的難點．本題屬于基礎題．