Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C過點(diǎn)A（0，0）和B（0，4）且與直線x+y-4=0相切，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1與圓C的一個(gè)焦點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探究：圓C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到橢圓的右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓C的方程，代入點(diǎn)和直線和圓的位置關(guān)系：相切的條件：d=r，列出方程組，解得即可得到圓C的方程；
（2）要探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于|OF|的長度4，我們可以轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為圓心，半徑為4的圓（x─4）²+y²=16與（1）所求的圓的交點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)圓C：（x-m）²+（y-n）²=r²，
則m²+n²=r²，m²+（4-n）²=r²，$\frac{|m+n-4|}{\sqrt{2}}$=r，
解得m=-2，n=2，r=2$\sqrt{2}$，
即有圓C的方程為（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）由橢圓的定義可得2a=10，∴a²=25，
則橢圓的方程為 $\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，
其焦距c=$\sqrt{25-9}$=4，右焦點(diǎn)為（4，0），那么|OF|=4．
通過聯(lián)立兩圓的方程 $\left\{\begin{array}{l}{（x-4）^{2}+{y}^{2}=16}\\{（x+2）^{2}+（y-2）^{2}=8}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{4}{5}$，y=$\frac{12}{5}$．
即存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q（$\frac{4}{5}$，$\frac{12}{5}$），
使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于|OF|的長．

點(diǎn)評 本題考查的是圓的位置關(guān)系和圓錐曲線的基本概念的理解．對于題中第二小問中，探求是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q，使得該點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離等于|OF|的長度4，轉(zhuǎn)化為探求以右焦點(diǎn)F為頂點(diǎn)，半徑為4的圓（x─4）²+y²=16與（1）所求的圓的交點(diǎn)．可使問題簡化．