Question

10．現(xiàn)有8名區(qū)級學(xué)科競賽優(yōu)勝者，其中有語文學(xué)科A₁、A₂、A₃，數(shù)學(xué)學(xué)科B₁、B₂、B₃，英語學(xué)科C₁、C₂．從中選出語文、數(shù)學(xué)、英語學(xué)科競賽優(yōu)勝者各1名組成一個小組參加市級學(xué)科競賽，已知各學(xué)科中每名優(yōu)勝者被選中的機會均等．
（Ⅰ）列舉出組成這個小組所有可能的結(jié)果；
（Ⅱ）求A₃和B₃均沒有被選中的概率；
（Ⅲ）求B₁和C₁中至少有一人被選中的概率．

Answer 1

分析 （I）依題意，從8名學(xué)科競賽優(yōu)勝者中選出3名組成一個小組所有可能的結(jié)果，注意不能夠重復(fù)，不遺漏．
（II）用M表示“A₃和B₃均沒有被選中”，其所有可能的結(jié)果，判斷即可，計算即可．
（III）用N表示“B₁和C₁中至少有一人被選中”，則其對立事件$\overline N$表示“B₁和C₁均沒有被選中”，運用對立事件的結(jié)果求解概率即可．

解答 （Ⅰ）解：依題意，從8名學(xué)科競賽優(yōu)勝者中選出3名組成一個小組所有可能的結(jié)果為：
{A₁，B₁，C₁}，{A₁，B₁，C₂}，{A₁，B₂，C₁}，{A₁，B₂，C₂}，{A₁，B₃，C₁}，{A₁，B₃，C₂}，{A₂，B₁，C₁}，{A₂，B₁，C₂}，{A₂，B₂，C₁}，{A₂，B₂，C₂}，{A₂，B₃，C₁}，{A₂，B₃，C₂}，{A₃，B₁，C₁}，{A₃，B₁，C₂}，{A₃，B₂，C₁}，{A₃，B₂，C₂}，{A₃，B₃，C₁}，{A₃，B₃，C₂}，共18種．
（Ⅱ）解：用M表示“A₃和B₃均沒有被選中”，其所有可能的結(jié)果為：
{A₁，B₁，C₁}，{A₁，B₁，C₂}，{A₁，B₂，C₁}，{A₁，B₂，C₂}，{A₂，B₁，C₁}，{A₂，B₁，C₂}，{A₂，B₂，C₁}，{A₂，B₂，C₂}，共8種．
∴$P（M）=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}$．
（Ⅲ）解：用N表示“B₁和C₁中至少有一人被選中”，則其對立事件$\overline N$表示“B₁和C₁均沒有被選中”，
$\overline N$包含的基本事件有：{A₁，B₂，C₂}，{A₁，B₃，C₂}，{A₂，B₂，C₂}，{A₂，B₃，C₂}，{A₃，B₂，C₂}，{A₃，B₃，C₂}，共6種．
則$P（\overline N）=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$．
∴$P（N）=1-P（\overline N）=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了列舉法求解基本事件及其概率，屬于中檔題，關(guān)鍵是列全基本事件，做到不重復(fù)，不遺漏．