Question

1．底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為5，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是$\sqrt{61}$和$\sqrt{89}$，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是100．

Answer 1

分析 根據(jù)線面垂直的定義，利用勾股定理求出底面菱形的對(duì)角線長(zhǎng)，再由菱形的性質(zhì)算出底面的邊長(zhǎng)，根據(jù)直棱柱的側(cè)面積公式，即可求出該棱柱的側(cè)面積．

解答 解設(shè)直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對(duì)角線A₁C=$\sqrt{61}$，BD₁=$\sqrt{89}$，
∵A₁A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴A₁A⊥AC，
Rt△A₁AC中，A₁A=5，可得AC=$\sqrt{{{A}_{1}C}^{2}{{-A}_{1}A}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{61}）}^{2}{-5}^{2}}$=6，
同理可得BD=$\sqrt{{{BD}_{1}}^{2}{-{DD}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{89}）}^{2}{-5}^{2}}$=8；
∵四邊形ABCD為菱形，可得AC、BD互相垂直平分，
∴AB=$\sqrt{{（\frac{6}{2}）}^{2}{+（\frac{8}{2}）}^{2}}$=5，即菱形ABCD的邊長(zhǎng)等于5；
因此，這個(gè)棱柱的側(cè)面積為S_側(cè)=（AB+BC+CD+DA）×A₁A=4×5×5=100．
故答案為：100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求直棱柱的側(cè)面積的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了線面垂直的定義、菱形的性質(zhì)和直棱柱的側(cè)面積公式等知識(shí)，是基礎(chǔ)題．