Question

1．底面是菱形的棱柱其側棱垂直于底面，且側棱長為5，它的體對角線的長分別是$\sqrt{61}$和$\sqrt{89}$，則這個棱柱的側面積是100．

Answer 1

分析 根據線面垂直的定義，利用勾股定理求出底面菱形的對角線長，再由菱形的性質算出底面的邊長，根據直棱柱的側面積公式，即可求出該棱柱的側面積．

解答 解設直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，對角線A₁C=$\sqrt{61}$，BD₁=$\sqrt{89}$，
∵A₁A⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴A₁A⊥AC，
Rt△A₁AC中，A₁A=5，可得AC=$\sqrt{{{A}_{1}C}^{2}{{-A}_{1}A}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{61}）}^{2}{-5}^{2}}$=6，
同理可得BD=$\sqrt{{{BD}_{1}}^{2}{-{DD}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{89}）}^{2}{-5}^{2}}$=8；
∵四邊形ABCD為菱形，可得AC、BD互相垂直平分，
∴AB=$\sqrt{{（\frac{6}{2}）}^{2}{+（\frac{8}{2}）}^{2}}$=5，即菱形ABCD的邊長等于5；
因此，這個棱柱的側面積為S_側=（AB+BC+CD+DA）×A₁A=4×5×5=100．
故答案為：100．

點評 本題考查了求直棱柱的側面積的應用問題，也考查了線面垂直的定義、菱形的性質和直棱柱的側面積公式等知識，是基礎題．