Question

已知函數(shù).
（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求a的值；
（2）若，直線都不是曲線的切線，求k的取值范圍；
（3）若，求在區(qū)間上的最大值．

Answer 1

（1）；（2）;(3) 當(dāng)或時(shí)，在處取得最大值；當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，在取得最大值；當(dāng)時(shí)，在處都取得最大值0.

試題分析：（1）首先求出導(dǎo)數(shù)：，
代入得：.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824023625564484.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，所以必為偶函數(shù)，即，
所以.
（2）若，直線都不是曲線的切線，這說(shuō)明k不在的導(dǎo)函數(shù)值域范圍內(nèi). 所以求出的導(dǎo)函數(shù)，再求出它的值域，便可得k的范圍.
（3）.
由得：.
注意它的兩個(gè)零點(diǎn)的差恰好為1，且必有.
結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖象，可知導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn).
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240236255171016.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以            2分
由二次函數(shù)奇偶性的定義，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824023625564484.png" style="vertical-align:middle;" />為奇函數(shù)，
所以為偶函數(shù)，即，
所以                                4分
（2）若，直線都不是曲線的切線，即k不在導(dǎo)函數(shù)值域范圍內(nèi).
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240236259851221.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以對(duì)成立，
只要的最小值大于k即可，所以k的范圍為.7分
（3）.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824023625174381.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，
當(dāng)時(shí)，對(duì)成立，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值;
當(dāng)時(shí)，在，，單調(diào)遞增，在時(shí)，，調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值;
時(shí)，在，，單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最大值;.10分
當(dāng)時(shí)，在，，單調(diào)遞減，在，，單調(diào)遞增,

又，，
當(dāng)時(shí)，在取得最大值;
當(dāng)時(shí)，在取得最大值；
當(dāng)時(shí)，在處都取得最大值0．
綜上所述：當(dāng)或時(shí)，在處取得最大值；
當(dāng)時(shí)，取得最大值；
當(dāng)時(shí)，在取得最大值；
當(dāng)時(shí)，在處都取得最大值0．13分