Question

8．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作直線與拋物線交于A，B兩點，以AB為直徑畫圓，借助信息技術(shù)工具，觀察它與拋物線準(zhǔn)線l的關(guān)系，你能得到什么結(jié)論？相應(yīng)于橢圓、雙曲線如何？你能證明你的結(jié)論嗎？

Answer 1

分析 取AB的中點M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，作出圖形，利用拋物線的定義及梯形的中位線性質(zhì)可推導(dǎo)，|MN|=$\frac{1}{2}$|AB|，從而可判斷圓與準(zhǔn)線的位置關(guān)系．橢圓、雙曲線，同理可得．

解答 解：取AB的中點M，分別過A、B、M作準(zhǔn)線的垂線AP、BQ、MN，垂足分別為P、Q、N，如圖所示：
由拋物線的定義可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，
在直角梯形APQB中，|MN|=$\frac{1}{2}$（|AP|+|BQ|）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|）=$\frac{1}{2}$|AB|，
故圓心M到準(zhǔn)線的距離等于半徑，
∴以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
圓半徑為r，則r=$\frac{1}{2}$AB，分別過點A，B做右準(zhǔn)線的垂線，則構(gòu)成一個直角梯形，兩底長分別為$\frac{1}{e}$AF，$\frac{1}{e}$BF（e為離心率）
圓心到準(zhǔn)線的距離d為梯形的中位線長即$\frac{1}{2e}$（AF+BF）
∵橢圓0＜e＜1，∴d=$\frac{1}{2e}$（AF+BF）=$\frac{1}{2e}$AB＞$\frac{1}{2}$AB=r，∴相離
雙曲線e＞1，可得d＜r，相交．

點評 本題考查直線與拋物線、橢圓、雙曲線的位置關(guān)系、直線圓的位置關(guān)系，考查拋物線、橢圓、雙曲線的定義，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．