Question

18．已知函數(shù)$f（x）=a-\frac{4}{{{2^x}+1}}（{a∈R}）$是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)．
（1）求a的值，并寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：函數(shù)f（x）在上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，利用f（0）=0進(jìn)行求解即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，
∴f（0）═0，即f（0）=a-$\frac{4}{{2}^{0}+1}$=a-$\frac{4}{2}$=0，得a=2．
（2）設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-（2-$\frac{4}{{2}^{{x}_{2}}+1}$）
=$\frac{4（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（1+{2}^{{x}_{1}}）（1+{2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，
∴y=2^x是增函數(shù)，
則${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
則f（x₁）-f（x₂）＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數(shù)．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．