Question

13．己知函數(shù)f（x）的定義域為R，對任意的x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2，且當x＞0時，f（x）＜2，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=4-f（-a_n-n（-1）ⁿ）（n∈N^*），則a₂₀₁₆=-1006．

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)關(guān)系進行轉(zhuǎn)化，利用累加法進行求解即可．

解答 解：設(shè)x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＜2；
∴f（x₂-x₁）＜2；
即f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁），
即f（x₂）＜f（x₁）．
則函數(shù)f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0）-2，即f（0）=2，
令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x）-2=f（0）=2，
即f（x）+f（-x）=4，
即f（x）=4-f（-x），
則f（a_n+1）=4-f（-a_n-n（-1）ⁿ）=f（a_n+n（-1）ⁿ），
∵函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，
∴a_n+1=a_n+n（-1）ⁿ，即a_n+1-a_n=n（-1）ⁿ，
則a₂-a₁=-1，
 a₃-a₂=2，
a₄-a₃=-3，
…
a₂₀₁₆-a₂₀₁₅=-2015，
則等式兩邊同時相加得a₂₀₁₆-a₁=-1+2-3+4-5+6+…+2014-2015=-1+（2-3）+…+（2014-2015）=-1-1-…-1=-1008，
即a₂₀₁₆=a₁-1008，
∵a₁=f（0）=2，
∴a₂₀₁₆=a₁-1008=2-1008=-1006，
故答案為：-1006

點評 本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的轉(zhuǎn)化，李雨桐抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．注意利用累加法進行求遞推數(shù)列，綜合性較強，難度較大．