Question

14．已知f（x）=e^x，g（x）為其反函數．
（1）說明函數f（x）與g（x）圖象的關系（只寫出結論即可）；
（2）證明f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方；
（3）設直線l與f（x）、g（x）均相切，切點分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，g（x₂）），且x₁＞x₂＞0，求證：x₁＞1．

Answer 1

分析 （1）根據函數與其反函數的圖象關于y=x直線對稱；
（2）設h（x）=x，利用導數求得f（x）-h（x）=e^x-x的最小值大于0，從而得e^x＞x，利用導數求得h（x）-g（x）=x-lnx的最小值大于0，從而得x＞lnx，這樣可證明f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方；
（3）根據導數的幾何意義得直線的斜率為${e}^{{x}_{1}}$=$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{ln{x}_{2}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，利用${e}^{{x}_{1}}$＞0得：0＜x₂＜1⇒lnx₂＜0⇒x₁＞x₂+1，可證x₁＞1．

解答 解：（1）f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，
（2）證明：g（x）=lnx，設h（x）=x，
令y=f（x）-h（x）=e^x-x，
y′=e^x-1，
令y′=0，即e^x=1，解得x=0，
當x＜0時，y′＜0，
當x＞0時，y′＞0，
∴當x=0時，y_min=e^x-0=1＞0，
∴e^x＞x，
令y=h（x）-g（x）=x-lnx，
y′=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
令y′=0，解得：x=1；
當0＜x＜1時，y′＜0，
當x＞1，時y′＞0，
∴當x=1時，y_min=1-ln1=1＞0，
∴x＞lnx（x＞0）
∴f（x）的圖象恒在g（x）的圖象的上方；
（3）f′（x）=e^x，g′（x）=$\frac{1}{x}$，切點的坐標分別為（x₁，${e}^{{x}_{1}}$）（x₂，lnx₂），
可得方程組：$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{2}}}\\{\frac{ln{x}_{2}-{e}^{{x}_{1}}}{{x}_{2}-{x}_{1}}={e}^{{x}_{1}}}\end{array}\right.$，
∵x₁＞x₂＞0，
∴${e}^{{x}_{1}}$＞1
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$＞1，
∴0＜x₂＜1，
∴l(xiāng)nx₂＜0，
又lnx₂-${e}^{{x}_{1}}$=${e}^{{x}_{1}}$（x₂-x₁），
∴l(xiāng)nx₂=${e}^{{x}_{1}}$（x₂-x₁+1）＜0，
∴x₂-x₁+1＜0，
x₁＞x₂+1，
∴x₁＞1．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、構造函數證明不等式、導數的幾何意義、斜率計算公式、指數函數與對數函數的單調性等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．