Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的極值；
（2）若不等式g（x）＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$在（0，+∞）有解，求實數(shù)m的取值菹圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；
（2）問題轉(zhuǎn)化為m＜x-e^x$\sqrt{x}$，在（0，+∞）有解即可，構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)，求出函數(shù)的最值，問題得以解決．

解答 解：（1）f（x）=ax+lnx的定義域為（0，+∞），
∵${f^'}（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$
當a≥0時，f′（x）＞0恒成立，則y=f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)遞增，則無極值；
當a＜0時，y=f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上單調(diào)遞增，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上單調(diào)遞減，
則$x=-\frac{1}{a}$為y=f（x）的極大值，極大值為f（-$\frac{1}{a}$）=-1-ln（-a），無極小值，
（2）由題意e^x＜$\frac{x-m}{\sqrt{x}}$有解，即e^x$\sqrt{x}$＜x-m有解，因此只需m＜x-e^x$\sqrt{x}$，在（0，+∞）有解即可，
設(shè)h（x）=x-e^x$\sqrt{x}$，
∴h′（x）=1-e^x$\sqrt{x}$-$\frac{{e}^{x}}{2\sqrt{x}}$=1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$），
∵$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{2}}$＞1，且x∈（0，+∞）時，e^x＞1，
∴1-e^x（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{2\sqrt{x}}$）＜0，
即h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，+∞）遞減，
∴h（x）＜h（0）=0，
∴m＜0，
故m的取值范圍為（-∞，0）．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題與最值問題，屬于中檔題．