Question

4．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E為線段PD上一點，且$\frac{PE}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求異面直線PB與EC所成角的余弦值．
（2）求平面PAB與平面ACE所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線PB與EC所成角的余弦值．
（2）求出平面ACE的法向量和平面PAB的法向量，利用向量法能求出平面PAB與平面ACE所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，
∴以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，2），B（2，0，0），E（0，2，1），C（2，4，0），
$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EC}$=（2，2，-1），
設(shè)異面直線PB與EC所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{PB}，\overrightarrow{EC}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{EC}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{EC}|}$=$\frac{6}{\sqrt{8}•\sqrt{9}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
∴異面直線PB與EC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）$\overrightarrow{AC}$=（2，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，-2），
平面PAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
設(shè)平面PAB與平面ACE所成二面角的平面角為α，
則cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{3}$，
∴平面PAB與平面ACE所成二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．