Question

已知圓O：x²+y²=1和定點(diǎn)A（2，1），由圓O外一點(diǎn)P（a，b）向圓O引切線PQ，切點(diǎn)為Q，且滿足|PQ|=|PA|，
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（Ⅱ）求線段PQ長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（I）連結(jié)OP，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得|PQ|²+|QO|²=|OP|²，即a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²，化簡(jiǎn)既得實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系；
（II）由（I）結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，可得|PQ|²=a²+b²-1=5（a-

6

5

）²+

4

5

，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)a=

6

5

時(shí)，線段PQ長(zhǎng)有最小值

2 5

5

．

解答：解：（Ⅰ）連結(jié)OP，因?yàn)镼是切點(diǎn)，可得PQ⊥QO，則|PQ|²+|QO|²=|OP|²，
∵|PQ|=|PA|，∴a²+b²-1=（a-2）²+（b-1）²
化簡(jiǎn)得2a+b-3=0，即為實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系； …（6分）
（Ⅱ）由（I）2a+b-3=0，得b=-2a+3
∴|PQ|²=a²+b²-1=a²+（-2a+3）²-1=5（a-

6

5

）²+

4

5

因此，當(dāng)a=

6

5

時(shí)，線段PQ長(zhǎng)的最小值為

4 5

=

2 5

5

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出單位圓和其外部一個(gè)定點(diǎn)A，求切線PQ滿足|PQ|=|PA|時(shí)，實(shí)數(shù)a，b間滿足的等量關(guān)系，并求線段長(zhǎng)的最小值．著重考查了直線與圓的位置關(guān)系、圓的方程和二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．