分析 構造函數不等式(x-1)(x-2)(x-3)≥2(x-3)是證明本式的關鍵,再通過累加即可.
解答 證明:構造函數f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),x∈(0,+∞),
作差,f(x)-2(x-3)=(x-1)(x-2)(x-3)-2(x-3)
=(x-3)[(x-1)(x-2)-2]
=(x-3)(x2-3x)
=x(x-3)2≥0在x∈(0,+∞)上恒成立,
所以,f(x)≥2(x-3),x∈(0,+∞),
又∵ai(i=1,2,…,10)為正實數,
∴f(ai)≥2(ai-3)=2ai-6,i=1,2,…,10,
累加得:$\sum_{i=1}^{10}f({a}_{i})$≥2(a1+a2+a3+…+a10)-60=2$\sum_{i=1}^{10}{a}_{i}$-60=0,
故,$\sum_{i=1}^{10}({a}_{i}-1)({a}_{i}-2)({a}_{i}-3)$≥0.
點評 本題主要考查了通過構造函數證明不等式,以及作差比較法,累加求和法,具有的一定的技巧性,屬于難題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | f(-1)<f(0)<f(2) | B. | f(2)<f(0)<f(-1) | C. | f(0)<f(-1)<f(2) | D. | f(2)<f(-1)<f(0) |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{5π}{6}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 1個 | B. | 2個 | C. | 3個 | D. | 4個 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{20}$ | B. | $\frac{1}{12}$ | C. | $\frac{1}{8}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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