Question

4．設(shè)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)z₀=1+2i關(guān)于直線l：|z-2-2i|=|z|的對(duì)稱點(diǎn)的復(fù)數(shù)表示是i．

Answer 1

分析 求出直線l的方程，求出點(diǎn)（1，2）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，則P₀關(guān)于直線l：|z-2-2i|=|z|的對(duì)稱點(diǎn)的復(fù)數(shù)表示可求．

解答 解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R），代入：|z-2-2i|=|z|，得|（x-2）+（y-2）i|=|x+yi|，
即$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-2）^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，整理得，x+y=2．
而復(fù)數(shù)z₀=1+2i在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P₀（1，2），設(shè)其關(guān)于x+y=2的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}+\frac{n+2}{2}=2}\\{\frac{n-2}{m-1}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$．
∴P₀關(guān)于直線l：|z-2-2i|=|z|的對(duì)稱點(diǎn)為（0，1）．
該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是i，
故答案為：i．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的求法，是中檔題．