Question

16．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A（4，1）是拋物線內(nèi)一點，P在拋物線上，PA+PF的最小值為5．
（1）求拋物線方程；
（2）一條直線與拋物線相交于A、B（其中A在第一象限）與x軸、y軸相交于C、D，且|AC|，|CB|，|BD|的比為3：2：1，若這樣的直線存在，求出所有符合條件的直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）易知當(dāng)AP平行于x軸時PA+PF取最小值為5，利用拋物線的定義計算即得結(jié)論；
（2）通過|AC|、|CB|、|BD|的比為3：2：1可知A（2a，-b）、B（$\frac{a}{3}，\frac{2b}{3}$），代入拋物線方程計算即得結(jié)論．

解答 解：（1）如圖，當(dāng)AP平行于x軸時，PA+PF取最小值為5，
由拋物線定義可知，點A到拋物線準(zhǔn)線x=-$\frac{p}{2}$的距離為5，
又∵A（4，1），
∴4+$\frac{p}{2}$=5，即p=2，
∴拋物線方程為：y²=4x；
（2）∵|AC|、|CB|、|BD|的比為3：2：1，
∴|AC|=|CD|，|CB|=2|BD|，
設(shè)C（a，0）、D（b，0），
則A（2a，-b），B（$\frac{a}{3}，\frac{2b}{3}$），
∵直線與拋物線相交于點A、B，
∴b²=8a，$\frac{{4{b^2}}}{9}=\frac{4a}{3}$，
∴a=0，
∴這樣的直線不存在．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．