Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≥0}\\{-1，x＜0}\end{array}\right.$，設(shè)F（x）=f（x）•（x-a）²在區(qū)間[-4，4]上的最大值為g（a），則g（a）的表達(dá)式為$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，}&{a≥2}\\{（4-a）^{2}，}&{a＜2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 通過函數(shù)f（x）的解析式可知當(dāng)-4≤x＜0時(shí)F（x）≤0，從而當(dāng)0≤x≤4時(shí)F（x）=（x-a）²（≥0）才能取到最大值g（a），通過在0≤x≤4這個(gè)條件下分a≥4、2＜a＜4、0＜a≤2、a≤0四種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性討論即得結(jié)論．

解答 解：依題意，當(dāng)-4≤x＜0時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）•（x-a）²=-（x-a）²≤0，
∴當(dāng)0≤x≤4時(shí)，F(xiàn)（x）=f（x）•（x-a）²=（x-a）²（≥0）才能取到最大值g（a），

下面在0≤x≤4這個(gè)條件下分如下情況討論：
①當(dāng)a≥4時(shí)，F(xiàn)（x）=（x-a）²在[0，4]上單調(diào)遞減，
∴g（a）=F（0）=a²；
②當(dāng)2＜a＜4時(shí)，F(xiàn)（x）=（x-a）²在[0，a]上單調(diào)遞減、在[a，4]上單調(diào)遞增，
∴g（a）=F（0）=a²；
③當(dāng)0＜a≤2時(shí)，F(xiàn)（x）=（x-a）²在[0，a]上單調(diào)遞減、在[a，4]上單調(diào)遞增，
∴g（a）=F（4）=（4-a）²；
④當(dāng)a≤0時(shí)，F(xiàn)（x）=（x-a）²在[0，4]上單調(diào)遞增，
∴g（a）=F（4）=（4-a）²；
綜上所述，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，}&{a≥2}\\{（4-a）^{2}，}&{a＜2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}，}&{a≥2}\\{（4-a）^{2}，}&{a＜2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．