Question

7．已知函數(shù)f（x）=ax²（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）討論函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)性；
（2）若方程f（x）=g（x）在區(qū)間[${\sqrt{2}$，e]上有兩個不等實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．
（可能用到的參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7，$\frac{1}{e^2}$≈0.135）．

Answer 1

分析 （1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)F′（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0和F′（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間．
（2）方程f（x）=g（x）在區(qū)間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解等價于 a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解，令h（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，從而得出它的最小值，即可得到a的取值范圍．

解答 解：（1）F（x）=ax²-2lnx  （x＞0）所以 F′（x）=$\frac{2（{ax}^{2}-1）}{x}$（x＞0）
所以當(dāng)a＞0時，函數(shù)在（0，$\frac{1}{\sqrt{a}}$）上是減函數(shù)，在 （$\frac{1}{\sqrt{a}}$，+∞）上是增函數(shù)，
a≤0時，函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)．
（2）方程f（x）=g（x）在區(qū)間[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解，
等價于 a=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$在[$\sqrt{2}$，e]上有兩個不等解
令h（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{2}}$，則 h′（x）=$\frac{2x（1-2lnx）}{{x}^{4}}$，
故函數(shù)h（x）在（$\sqrt{2}$，$\sqrt{e}$）上是增函數(shù)，在 （$\sqrt{e}$，e）上是減函數(shù)．
所以 h（x）_max=h（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{e}$，
又因為h（e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$＜h（2）=$\frac{ln2}{2}$=h （$\sqrt{2}$）   
故  h（x）_min=h （e）=$\frac{2}{{e}^{2}}$，
所以$\frac{2}{{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{e}$．
即a的取值范圍：$\frac{2}{{e}^{2}}$≤a＜$\frac{1}{e}$．

點評 本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．