Question

18．已知函數(shù)f（x）=（x²-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$）e^x，則方程4e²[f（x）]²+tf（x）-9$\sqrt{e}$=0（t∈R）的根的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 隨t的變化而變化

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的大致圖象，分析關(guān)于f（x）這一整體的二次方程根的情況，依據(jù)根的情況分類討論．

解答 解：∵f′（x）=（x+2）（x-$\frac{1}{2}$）e^x，
且f（-2）=$\frac{9}{{2{e^2}}}$，f（$\frac{1}{2}$）=$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$，
f（x）的大致圖象如圖，
令t=f（x），
設(shè)方程4e²m²+tm-9$\sqrt{e}$=0的兩根為m₁，m₂，
則m₁m₂=-$\frac{{9\sqrt{e}}}{{4{e^2}}}$=f（-2）f（$\frac{1}{2}$），
若m₁=$\frac{9}{{2{e^2}}}$，m₂=$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$，有三根；
若0＜m₁＜$\frac{9}{{2{e^2}}}$有三根，此時(shí)m₂＜$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$無(wú)根，也有三根，
當(dāng)m₁＞$\frac{9}{{2{e^2}}}$有1根，此時(shí)$-\frac{{\sqrt{e}}}{2}$＜m₂＜0有兩根，也有三根，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 考查利用導(dǎo)函數(shù)分析出的單調(diào)性、極值作簡(jiǎn)圖，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．利用換元法簡(jiǎn)化方程，考查數(shù)形結(jié)合．作圖、分析根個(gè)數(shù)，難度較大，屬于難題．