Question

14．設函數(shù)f（x）=[x²-（b+2）x+1]e^x，b為實常數(shù)．
（Ⅰ）當b=0時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x）在[-|b|，|b|]（b≠0）上單調(diào)遞減，求b的取值范圍；
（Ⅲ）設f（x）在[-1，1]上的最小值和最大值分別為m，M，若m•M=-12，求b的值．

Answer 1

分析 （I）求出導函數(shù)f′（x），令f′（x）＞0解出增區(qū)間，令f′（x）＜0解出減區(qū)間；
（II）令f′（x）=0求出f（x）的極值點，討論極值點的大小關系，得出f（x）的減區(qū)間D，令[-|b|，|b|]⊆D求出b的范圍；
（III）根據(jù)（II）的討論判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，求出f（x）的最值，根據(jù)m•M=-12列方程解出b．

解答 解：（I）當b=0時，f（x）=（x-1）²e^x，f′（x）=（x²-1）e^x，
令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1．令f′（x）＜0，解得-1＜x＜1．
∴f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
（II）f′（x）=（x+1）（x-b-1）e^x，
∵f（x）在[-|b|，|b|]（b≠0）上單調(diào)遞減，
∴f′（x）≤0在[-|b|，|b|]上恒成立．
令f′（x）=0，解得x=-1或x=b+1．
①若b+1=-1，即b=-2時，f′（x）=（x+1）²e^x≥0，不符合題意．
②若b+1＜-1，即b＜-2時，f′（x）≤0的解為b+1≤x≤-1，即f（x）的減區(qū)間為[b+1，-1]，顯然不符合題意．
③若b+1＞-1，即b＞-2時，f′（x）≤0的解為-1≤x≤b+1，即f（x）的減區(qū)間為[-1，b+1]．
∵f（x）在[-|b|，|b|]（b≠0）上單調(diào)遞減，
∴-1≤-|b|＜|b|≤b+1，解得-$\frac{1}{2}$≤b≤1且b≠0．
綜上，b的取值范圍是[-$\frac{1}{2}$，0）∪（0，1]．
（III）①當b+1≤-1即b≤-2時，f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，
∴m=f（-1）=（4+b）e^-1，M=f（1）=-be，∴-b（4+b）=-12，解得b=-6．
②當-1＜b+1≤1即-2＜b≤0，f（x）在[-1，b+1]上單調(diào)遞減，在（b+1，1）上單調(diào)遞增，
∴m=f（b+1）=-be^b+1≥0，∴M＞m≥0，故m•M≥0，不符合題意．
③當b+1＞1即b＞0時，f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞減，
∴m=f（1）=-be，M=f（-1）=（4+b）e^-1，∴-b（4+b）=-12，解得b=2．
綜上，b=-6或b=2．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，函數(shù)最值的求解，分類討論思想，屬于中檔題．