Question

19．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，已知$\frac{1}{3}$S₃與$\frac{1}{4}$S₄的等比中項為$\frac{1}{5}$S₅，等差中項為1，若數(shù)列{a_n}的項a₃，a₄，a_k恰好構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項，求k的值及等比數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{3}$S₃與$\frac{1}{4}$S₄的等比中項為1，等差中項為1，求出d=-$\frac{12}{5}$，a₁=4，可得數(shù)列{a_n}的通項，利用數(shù)列{a_n}的項a₃，a₄，a_k恰好構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項，求出k的值及等比數(shù)列{b_n}的通項公式．

解答 解：∵$\frac{1}{3}$S₃與$\frac{1}{4}$S₄的等比中項為1，等差中項為1，
∴$\frac{1}{3}$S₃•$\frac{1}{4}$S₄=（$\frac{1}{5}$S₅）²，$\frac{1}{3}$S₃+$\frac{1}{4}$S₄=2
∴$\frac{1}{12}$（3a₁+3d）（4a₁+6d）=$\frac{1}{25}$（5a₁+10d）²，4（3a₁+3d）+3（4a₁+6d）=24，
∵d≠0，∴d=-$\frac{12}{5}$，a₁=4，
∴a_n=$\frac{32}{5}$-$\frac{12}{5}$n
∵數(shù)列{a_n}的項a₃，a₄，a_k恰好構(gòu)成等比數(shù)列{b_n}的前三項，
∴a₄²=a₃a_k，解得k=8，
∴b₁=-$\frac{4}{5}$，q=-$\frac{4}{5}$，
∴b_n=$（-\frac{4}{5}）^{n}$．

點評 本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．