Question

9．已知Rt△ABC的斜邊AB=2，則其內(nèi)切圓的半徑r的取值范圍是（　�。�

• A． （1，$\sqrt{2}$]
• B． [1，$\sqrt{2}$]
• C． （0，$\sqrt{2}$-1]
• D． [1，$\sqrt{2}$-1]

Answer 1

分析 由題意和勾股定理列出方程，利用完全平方公式表示出a+b，利用面積相等求出內(nèi)切圓的半徑r，根據(jù)換元法和基本不等式求出r的取值范圍．

解答 解：設(shè)AC=b、BC=a，且AB=2，C=90°，
∴a²+b²=4，
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=4+2ab，
則a+b=$\sqrt{4+2ab}$，
由$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}（a+b+2）r$得，r=$\frac{ab}{a+b+2}$，
∴r=$\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}$，
設(shè)t=$\sqrt{4+2ab}$，則ab=$\frac{{t}^{2}-4}{2}$，
由a²+b²=4且a²+b²≥2ab得，0＜ab≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴4＜4+2ab≤8，則2 $＜\sqrt{4+2ab}≤2\sqrt{2}$，即t$∈（2，2\sqrt{2}]$，
代入r=$\frac{ab}{\sqrt{4+2ab}+2}$得，y=$\frac{\frac{{t}^{2}-4}{2}}{t+2}$=$\frac{1}{2}（t-2）$，
∵t$∈（2，2\sqrt{2}]$，∴$0＜\frac{1}{2}（t-2）≤\sqrt{2}-1$，
∴其內(nèi)切圓的半徑r的取值范圍（0，$\sqrt{2}-1$]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)切圓的問題，基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，以及換元法、等面積法，考查化簡(jiǎn)、變形能力．