Question

20．某校高一（1）班有男同學(xué)45名，女同學(xué)15名，老師按照分層抽樣的方法抽取4人組建了一個(gè)課外興趣小組．
（ I）求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)；
（ II）經(jīng)過一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論，這個(gè)興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)，方法是從小組里選出一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，該同學(xué)做完后，再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的同學(xué)中選出一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn)，求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率；
（ III）在（ II）的條件下，第一次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)A得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為38，40，41，42，44，第二次做實(shí)驗(yàn)的同學(xué)B得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為39，40，40，42，44，請(qǐng)問哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)課外興趣小組中有x名男同學(xué)，利用分層抽樣性質(zhì)列出方程，由此能求出課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù)．
（Ⅱ）把三名男同學(xué)和一名女同學(xué)分別記為${a}_{1}，{{a}_{2}，{a}_{3}}^{\;}$，b，利用列舉法能求出選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率．
（Ⅲ）分別求出A、B兩名學(xué)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此能求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)課外興趣小組中有x名男同學(xué)，
則$\frac{45}{45+15}$=$\frac{x}{4}$，解得x=3，
所以男同學(xué)的人數(shù)為3、女同學(xué)的人數(shù)分別為1．…（3分）
（Ⅱ）把三名男同學(xué)和一名女同學(xué)分別記為${a}_{1}，{{a}_{2}，{a}_{3}}^{\;}$，b，
則選取兩名同學(xué)先后做實(shí)驗(yàn)的基本事件有：（a₁，a₂），（a₁，a₃），（a₁，b），（a₂，a₁），（a₂，a₃），（a₂，b），（b，a₁），
（a₃，a₁），（a₃，a₂），（a₃，b），（b，a₂），（b，a₃），共12種，…（5分）
其中有一名女同學(xué)的情況有6種，…（6分）
所以選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率為p=$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$．…（8分）
（Ⅲ）由題知，$\overline{{x}_{1}}$=$\frac{38+40+41+42+44}{5}$=41，
$\overline{{x}_{2}}$=$\frac{38+40+40+42+44}{5}$=41，…（9分）
${{S}_{1}}^{2}$=$\frac{（38-41）^{2}+（40-41）^{2}+（41-41）^{2}+（42-41）^{2}+（44-41）^{2}}{5}$=4，
${{S}_{2}}^{2}$=$\frac{（39-41）^{2}+（40-41）^{2}+（40-41）^{2}+（42-41）^{2}+（44-41）^{2}}{5}$=3.2，…（11分）
∴$\overline{{x}_{1}}$＜$\overline{{x}_{2}}$，${{S}_{2}}^{2}＜{{S}_{1}}^{2}$．故同學(xué)B的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣、概率、平均數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．