Question

12．如圖所示，多面體ABCDMN的底面ABCD是AB=2，AD=1的矩形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=2，NB=1，MB余ND交于P點，點Q在AB上，且BQ=$\frac{2}{3}$．
（1）求證：QP∥平面AMD；
（2）求三棱錐M-BCN的體積．

Answer 1

分析 （1）由MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得MD∥NB．進(jìn)而得到$\frac{BP}{PM}=\frac{NB}{MD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{QB}{QA}=\frac{1}{2}$，$\frac{QB}{QA}=\frac{BP}{PM}$
于是在△MAB中，QP∥AM．再利用線面平行的性質(zhì)即可得出QP∥平面AMD．
（2）連接BD，AC交于點O，則AC⊥BD．又MD⊥平面ABCD，利用線面垂直的性質(zhì)可得MD⊥AC，再利用線面垂直的判定即可得出AC⊥平面MNBD．于是CO為四棱錐A-MNBD的高，進(jìn)而得到VC_-MNBD的體積．由V_M-BCN=V_C-MNBD-V_M-BDC即可得出答案．

解答 解：（1）證明：∵M(jìn)D⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，∴MD∥NB．
∴$\frac{BP}{PM}=\frac{NB}{MD}=\frac{1}{2}$，又$\frac{QB}{QA}=\frac{1}{2}$，∴$\frac{QB}{QA}=\frac{BP}{PM}$
∴在△MAB中，QP∥AM．
又QP?平面AMD，AM?平面AMD．
∴QP∥平面AMD．
（2）連接DB，過C作CO⊥DB于O，
又MD⊥平面ABCD，∴MD⊥OC，又BD∩MD=D，
∴OC⊥平面MNBD．
∴CO為四棱錐C-MNBD的高，且CO=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，又S_MNBD=$\frac{1}{2}×（1+2）×\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
V_C-MNBD=$\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{5}}{2}×\frac{2}{\sqrt{5}}=1$
V_M=BCD=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×2=\frac{2}{3}$，
∴V_M-BCN=V_C-MNBD-V_M-BDC=1-$\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

點評 本題考查的知識點是直線與平面平行的判斷，幾何體的體積計算，屬于中檔題．