Question

14．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)P是正方體棱上的一點(diǎn)（不包括棱的端點(diǎn)），若滿足|PB|+|PD₁|=m的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，則m的取值范圍是（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 利用三角形兩邊之和大于第三邊，以及點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6個(gè)時(shí)，短半軸長不大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，能求出m的范圍．

解答 解：∵|PA|+|PC₁|=m＞|AC₁|=$\sqrt{3}$，
∴m＞$\sqrt{3}$，
∵正方體的棱長為1
∴正方體的面的對角線的長為$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為6，
∴b≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵短半軸長b=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{4}-\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{{m}^{2}-3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{{m}^{2}-3}}{2}≤\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得m≤$\sqrt{5}$，
∴m的取值范圍是（$\sqrt{3}，\sqrt{5}$]．
故答案為：（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$]．

點(diǎn)評 本題以正方體為載體，主要考查了橢圓定義的靈活應(yīng)用，屬于綜合性試題，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．