Question

已知函數f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m
（1）求證：函數f（x）-g（x）必有零點
（2）設函數G（x）=f（x）-g（x）-1
①若|G（x）|在[-1，0]上是減函數，求實數m的取值范圍；
②是否存在整數a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，若存在，求出a，b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數f（x）-g（x）的零點，判斷對應方程的△與0的關系，易得結論．
（2）由函數f（x）=mx+3，g（x）=x²+2x+m，我們易給出函數G（x）=f（x）-g（x）-1，①若|G（x）|在[-1，0]上是減函數，根據對折變換函數圖象的特征，我們分△≤0和△＞0兩種情況進行討論，可得到滿足條件的m的取值范圍；②若a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，則

G(a)=a G(b)=b a≤ 4(2-m)+(m-2)2 4 ≤b

將a，b代入消去m，可以求出a，b的值．

解答：證明：（1）f（x）-g（x）=-x²+（m-2）x+3-m．
令f（x）-g（x）=0．
則△=（m-2）²-4（m-3）=m²-8m+16=（m-4）²≥0恒成立．
所以方程f（x）-g（x）=0有解．
所以函數f（x）-g（x）必有零點．
（2）①G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m．
①令G（x）=0，△=（m-2）²-4（m-2）=（m-2）（m-6）．
當△≤0，即2≤m≤6時，G（x）=-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
所以|G（x）|=x²-（m-2）x+m-2．
因為|G（x）|在[-1，0]上是減函數，所以

m-2

2

≥0．解得m≥2．
所以2≤m≤6．
當△＞0，即m＜2或m＞6時，|G（x）|=|x²-（m-2）x+m-2|．
因為|G（x）|在[-1，0]上是減函數，
所以方程x²-（m-2）x+m-2=0的兩根均大于零或一根大于零另一根小于零
且x=

m-2

2

≤-1．
所以

m-2＞0 m-2 2 ＞0

或

m-2＜0 m-2 2 ≤-1

解得m＞2或m≤0．
所以m≤0或m＞6．
綜上可得，實數m的取值范圍為（-∞，0]∪[2，+∞）．
②因為a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
所以

G(a)=a G(b)=b a≤ 4(2-m)+(m-2)2 4 ≤b

由

-a2+(m-2)a+2-m=a -b2+(m-2)b+2-m=b

消去m，得ab-2a-b=0，顯然b≠2．
所以a=

b

b-2

=1+

2

b-2

．    
因為a，b均為整數，所以b-2=±1或b-2=±2．
解得

a=3 b=3

或

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

或

a=0 b=0

因為a＜b，且a≤

4(2-m)+(m-2)2

4

≤b
所以

a=-1 b=1

或

a=2 b=4

點評：本題考查的知識點是函數的零點，函數圖象的對折變換，函數的單調性，函數的值域，（1）中解答的關鍵是“三個二次”之間的辯證關系，即函數有零點，則對應的方程有根；（2）中①的切入點是函數圖象對折變換后的函數圖象特征；②中消參思想是解答的關鍵．