Question

某大學(xué)生在開學(xué)季準(zhǔn)備銷售一種文具套盒進(jìn)行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學(xué)季內(nèi)，每售出1盒該產(chǎn)品獲利潤50元，未售出的產(chǎn)品，每盒虧損30元．根據(jù)歷史資料，得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．該同學(xué)為這個開學(xué)季購進(jìn)了160盒該產(chǎn)品，以X（單位：盒，100≤X≤200）表示這個丌學(xué)季內(nèi)的市場需求量，Y（單位：元）表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤．
（Ⅰ）將Y表示為X的函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計利潤Y不少于4800元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若需求量X[100，120），則取X=110，且X=110的概率等于需求量落入[100，120）的頻率），求Y的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，即可將Y表示為X的函數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)直方圖求出Y不少于4800元取值范圍．即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）求出利潤的分布列，根據(jù)均值的公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（ I）當(dāng)100≤X≤160時，Y=80X-4800，
當(dāng)160≤X≤200時，Y=8000，
則Y=

80X-4800 100≤X≤160 8000 160≤X≤200

．
（ II）由80X-4800≥4800，解得120≤X≤160，
當(dāng)160≤X≤200時，Y=8000也滿足條件，
綜上X≥120，
∴由直方圖可知，P（X≥120）=0.9．
（ III）根據(jù)題意得 獲得利潤Y的分布列是

Y	4000	5600	7200	8000
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以數(shù)學(xué)期望為E（Y）=4000×0.1+5600×0.2+7200×0.3+8000×0.4=6880（元）．

點評：本題主要考查分段函數(shù)以及頻率分布直方圖的應(yīng)用，綜合性較強．