Question

某大學生在開學季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè)，在一個開學季內，每售出1盒該產品獲利潤50元，未售出的產品，每盒虧損30元．根據歷史資料，得到開學季市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．該同學為這個開學季購進了160盒該產品，以X（單位：盒，100≤X≤200）表示這個丌學季內的市場需求量，Y（單位：元）表示這個開學季內經銷該產品的利潤．
（Ⅰ）將Y表示為X的函數；
（Ⅱ）根據直方圖估計利潤Y不少于4800元的概率；
（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區(qū)的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若需求量X[100，120），則取X=110，且X=110的概率等于需求量落入[100，120）的頻率），求Y的數學期望．

Answer 1

考點：分段函數的應用,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據分段函數的表達式，即可將Y表示為X的函數；
（Ⅱ）根據直方圖求出Y不少于4800元取值范圍．即可得到結論；
（Ⅲ）求出利潤的分布列，根據均值的公式即可得到結論．

解答： 解：（ I）當100≤X≤160時，Y=80X-4800，
當160≤X≤200時，Y=8000，
則Y=

80X-4800 100≤X≤160 8000 160≤X≤200

．
（ II）由80X-4800≥4800，解得120≤X≤160，
當160≤X≤200時，Y=8000也滿足條件，
綜上X≥120，
∴由直方圖可知，P（X≥120）=0.9．
（ III）根據題意得 獲得利潤Y的分布列是

Y	4000	5600	7200	8000
P	0.1	0.2	0.3	0.4

所以數學期望為E（Y）=4000×0.1+5600×0.2+7200×0.3+8000×0.4=6880（元）．

點評：本題主要考查分段函數以及頻率分布直方圖的應用，綜合性較強．