Question

7．已知某水庫近50年來年入流量X（單位：億立方米）的頻數(shù)分布如表：

年入流量	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
年數(shù)	10	35	5

將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨立．現(xiàn)計劃在該水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)組的水電站，已知每年發(fā)電機(jī)組最多可運行臺數(shù)Y受當(dāng)年年入流量X的限制，并有如下關(guān)系：

年入流量	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
最多運行臺數(shù)	1	2	3

（1）求隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望；
（2）若某臺發(fā)電機(jī)組正常運行，則該臺發(fā)電機(jī)組年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)組未運行，則該臺發(fā)電機(jī)組年虧損800萬元．為使水電站年總利潤的期望達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)組多少臺？

Answer 1

分析 （1）依題意，先求出隨機(jī)變量Y的分布列，由此能求出隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望．
（2）記水電站總利潤為Z（單位：萬元），分別求出安裝1臺發(fā)電機(jī)、?安裝2臺發(fā)電機(jī)、?安裝3臺發(fā)電機(jī)的利潤的期望，由此得到欲使水電站年總利潤的期望達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺．

解答 解：（1）依題意，${p_1}=p（40＜X＜80）=\frac{10}{50}=0.2$．
${p_2}=p（80≤X≤120）=\frac{35}{50}=0.7$，
${p_3}=p（X≥120）=\frac{5}{50}=0.1$．
隨機(jī)變量Y的分布列為

Y	1	2	3
P	0.2	0.7	0.1

隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望為   E（Y）=1×0.2+2×0.7+3×0.1=1.9．
（2）記水電站總利潤為Z（單位：萬元）
?安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形．
由于水庫年流入量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運行的概率為1，對應(yīng)的年利潤  Z=5000，E（Z）=5000×1=5000．
?安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形．
依題意，當(dāng)40＜X＜80時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時Z=5000-800=4200，
因此P（Z=4200）=P（40＜X＜80）=0.2；
當(dāng)X≥80時，兩臺發(fā)電機(jī)運行，此時 Z=5000×2=10000，因此P（Z=10000）=P（X≥80）=0.8．
由此  Z的分布列如下：

Z	4200	10000
P	0.2	0.8

E（Z）=4200×0.2+10000×0.8=8840．
?安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形．
依題意，當(dāng)40＜X＜80時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時Z=5000-1600=3400，因此P（Z=3400）=P（40＜X＜80）=0.2；
當(dāng)80≤X≤120時，兩臺發(fā)電機(jī)運行，此時 Z=5000×2-800=9200，因此P（Z=9200）=P（80≤X≤120）=0.7．
當(dāng)X＞120時，三臺發(fā)電機(jī)運行，此Z=5000×3=15000，因此P（Z=15000）=P（X＞120）=0.1．
由此Z的分布列如下：

Z	40＜X＜80	80≤X≤120	X＞120
P	0.2	0.7	0.1

E（Z）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．
綜上，欲使水電站年總利潤的期望達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺．

點評 本題考查離散型機(jī)量的分布和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，正確理解題意是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確寫出各分布列是關(guān)鍵．本題考查學(xué)生邏輯推理能力和離散隨機(jī)變量的分布．