Question

12．某市小型機(jī)動(dòng)車駕照“科二”考試共有5項(xiàng)考察項(xiàng)目，分別記作①，②，③，④，⑤
（Ⅰ）某教練將所帶10名學(xué)員“科二”模擬考試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（如表所示），并打算從恰有2項(xiàng)成績(jī)不合格的學(xué)員中任意抽出2人進(jìn)行補(bǔ)測(cè)（只測(cè)不合格項(xiàng)目），求補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目種類不超過(guò)3項(xiàng)的概率．
（Ⅱ）“科二”考試中，學(xué)員需繳納150元報(bào)名費(fèi)，并進(jìn)行1輪測(cè)試（按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行），如果某項(xiàng)目不合格，可免費(fèi)再進(jìn)行1輪補(bǔ)測(cè)，若第1輪補(bǔ)測(cè)中仍有不合格項(xiàng)目，可選擇“是否補(bǔ)考”，若補(bǔ)考則需繳納300元補(bǔ)考費(fèi)，并獲得最多2輪補(bǔ)考機(jī)會(huì)，否則考試結(jié)束．每1輪補(bǔ)測(cè)都按①，②，③，④，⑤的順序進(jìn)行．學(xué)員在任何1輪測(cè)試或補(bǔ)測(cè)中5個(gè)項(xiàng)目均合格，方可通過(guò)“科二”考試，每人最多只能補(bǔ)考1次．某學(xué)員每輪測(cè)試或補(bǔ)測(cè)通過(guò)①，②，③，④，⑤各項(xiàng)測(cè)試的概率依次為1，1，1，$\frac{9}{10}$，$\frac{2}{3}$，且他遇到“是否補(bǔ)考”的決斷時(shí)會(huì)選擇補(bǔ)考．
（Ⅰ）求該學(xué)員能通過(guò)“科二”考試的概率．
（Ⅱ）求該學(xué)員繳納的考試費(fèi)用X的數(shù)學(xué)期望．

項(xiàng)目/學(xué)號(hào)編號(hào)	①	②	③	④	⑤
（1）	T	T		T
（2）	T		T	T
（3）	T	T	T		T
（4）	T		T		T
（5）	T	T	T	T
（6）	T	T			T
（7）		T	T	T	T
（8）	T	T	T	T	T
（9）		T	T	T
（10）	T	T	T	T	T
注：“T”表示合格，空白表示不合格

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，利用列舉法能求出該學(xué)員能通過(guò)“科二”考試的概率．
（Ⅱ）（i）由題意知，該學(xué)員順利完成每小時(shí)輪測(cè)試（或補(bǔ)測(cè)）的概率為$\frac{3}{5}$，由此能求出該學(xué)員通過(guò)“科二”考試的概率，分別求出P（X=150）和P（X=450），由此能求出該學(xué)員繳納的考試費(fèi)用X的數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，學(xué)員（1），（2），（4），（6），（9）恰有兩項(xiàng)不合格，
從中任意抽出2人，所有可能的情況如下：

學(xué)號(hào)	補(bǔ)測(cè)項(xiàng)目	項(xiàng)數(shù)
（1）（2）	②③⑤	3
（1）（4）	②③④⑤	4
（1）（6）	③④⑤	3
（1）（9）	①③⑤	3
（2）（4）	②④⑤	3
（2）（6）	②③④⑤	4
（2）（9）	①②⑤	3
（4）（6）	②③④	3
（4）（9）	①②④⑤	4
（6）（9）	①③④⑤	4

由表知，全部10種可能的情況中，
有6種情況補(bǔ)測(cè)項(xiàng)數(shù)不超過(guò)3，
由古典概型知該學(xué)員能通過(guò)“科二”考試的概率p=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由題意知，該學(xué)員順利完成每小時(shí)輪測(cè)試（或補(bǔ)測(cè)）的概率為：
$1×1×1×\frac{9}{10}×\frac{2}{3}=\frac{3}{5}$，
（i）由題意，該學(xué)員無(wú)法通過(guò)“科二”考試，
當(dāng)且僅當(dāng)其測(cè)式與3次補(bǔ)測(cè)均未能完成5項(xiàng)測(cè)試，相應(yīng)概率為（$\frac{2}{5}$）⁴=$\frac{16}{625}$，
故該學(xué)員通過(guò)“科二”考試的概率為1-$\frac{16}{625}$=$\frac{609}{625}$．
（ii）根據(jù)題意，X=150，當(dāng)且僅當(dāng)該學(xué)員通過(guò)測(cè)試，或未通過(guò)測(cè)試，但通過(guò)第一輪補(bǔ)測(cè)，其他情況時(shí)均有X=450，
而P（X=150）=$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}=\frac{21}{25}$，
∴P（X=450）=1-$\frac{21}{25}=\frac{4}{25}$，
∴X的分布列為：

X	150	450
P	$\frac{21}{25}$	$\frac{4}{25}$

EX=$150×\frac{21}{25}$+$450×\frac{4}{25}$=198（元）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．