Question

過拋物線y²=4x的焦點F作傾斜角為銳角的直線l，l與拋物線的一個交點為A，與拋物線的準線交于點B，且

AF

=

FB

．
（1）求拋物線的準線被以AB為直徑的圓所截得的弦長；
（2）平行于AB的直線與拋物線交于C，D兩點，若在拋物線上存在一點P，使得直線PC與PD的斜率之積為-4，求直CD線在y軸上截距的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）如圖所示，由于

AF

=

FB

，可得F點為線段AB的中點．設(shè)以AB為直徑的圓與準線相較于另外一點H，則AH⊥準線，可得AH=AF=

1

2

AB．因此∠AFx=∠BAH=60°．于是直線AB的方程為：y=

3

(x-1)．聯(lián)立

y= 3 (x-1) y2=4x

，可解得x₁=3，x2=

1

3

．可得|AF|=x1+

p

2

，即可得到|BH|=|AB|sin60°．
（II）設(shè)直線CD的方程為：y=

3

x+m，P(

y 2 0

4

，y0)，C(

y 2 1

4

，y1)，D(

y 2 2

4

，y2)．與拋物線的方程聯(lián)立可得

3

y2-4y+4m=0，由于△＞0，解得m＜

3

3

．可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用k_PC•k_PD=-4與斜率計算公式可得

16

(y1+y0)(y2+y0)

=-4，化為m=-

3

4

(y0+

2

3

)2+

4 3

3

，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）如圖所示，F（1，0）．
∵

AF

=

FB

，
∴F點為線段AB的中點．
設(shè)以AB為直徑的圓與準線相較于另外一點H，則AH⊥準線，
∴AH=AF=

1

2

AB．
∴∠AFx=∠BAH=60°．
∴直線AB的方程為：y=

3

(x-1)．
聯(lián)立

y= 3 (x-1) y2=4x

，化為3x²-10x+3=0，
解得x₁=3，x2=

1

3

．
∴|AF|=3+1=4，∴|AB|=8．
∴|BH|=|AB|sin60°=4

3

．
∴拋物線的準線被以AB為直徑的圓所截得的弦長|BH|=4

3

．
（II）設(shè)直線CD的方程為：y=

3

x+m，P(

y 2 0

4

，y0)，C(

y 2 1

4

，y1)，D(

y 2 2

4

，y2)．
聯(lián)立

y= 3 x+m y2=4x

，化為

3

y2-4y+4m=0，
∵△=16-16

3

m＞0，解得m＜

3

3

．
∴y₁+y₂=

4

3

，y1y2=

4m

3

．
∵kPC=

y1-y0

y 2 1 4 - y 2 0 4

=

4

y1+y0

，同理可得kPD=

4

y2+y0

．
k_PC•k_PD=-4，
∴

16

(y1+y0)(y2+y0)

=-4，
化為y₁y₂+y₀（y₁+y₂）+

y

2 0

+4=0．
∴

4m

3

+

4y0

3

+

y

2 0

+4=0，
化為m=-

3

4

(y0+

2

3

)2-

2 3

3

，
∴當y₀=-

2 3

3

時，m取得最大值-

2 3

3

＜

3

3

．
∴直CD線在y軸上截距的最大值是-

2 3

3

．

點評：本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直角三角形的邊角關(guān)系、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．