Question

14．某中學(xué)高三年級從甲、乙兩個班級各選出7名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖，其中甲班學(xué)生成績的平均分是85，乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是89．
（1）求x和y的值；
（2）計算乙班7位學(xué)生成績的方差s²．
（3）從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求乙班至少有一名學(xué)生的概率．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖求出甲班學(xué)生的總分為590+x．再由甲班學(xué)生成績的平均分是85，總分為595，能求出x；乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是80+y=89，由此能求出y．
（2）由乙班7位學(xué)生成績分別為76，81，82，89，91，94，96．由此能求出乙班7位學(xué)生成績的平均數(shù)和7位學(xué)生成績的方差．
（3）設(shè)“乙班至少有一名學(xué)生”為事件A，其對立事件為從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，乙班沒有一名學(xué)；根據(jù)莖葉圖可得，甲班有2名學(xué)生成績高于90分，乙班學(xué)生成績高于90分，從甲、乙兩個班級成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，有10種情況，沒有一名是乙班的有1中情況，由此能乙班至少有一名學(xué)生的概率．

解答 解：（1）由莖葉圖可知甲班學(xué)生的總分為70×2+80×3+90×2+（8+9+5+x+0+6+2）=590+x．
又甲班學(xué)生成績的平均分是85，總分又等于85×7=595，所以x=5．
乙班學(xué)生成績的中位數(shù)是80+y=89，得y=9．
（2）因為乙班7位學(xué)生成績分別為76，81，82，89，91，94，96．
則乙班7位學(xué)生成績的平均數(shù)是$\overline x=87$，
所以7位學(xué)生成績的方差是：
${s^2}=\frac{1}{7}$（11²+6²+5²+2²+4²+7²+9²）=$\frac{1}{7}（121+36+25+4+16+49+81）$=$\frac{332}{7}$．
（3）設(shè)“乙班至少有一名學(xué)生”為事件A，
其對立事件為從成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，
乙班沒有一名學(xué)；根據(jù)莖葉圖可得，甲班有2名學(xué)生成績高于90分，
乙班學(xué)生成績高于90分，
從甲、乙兩個班級成績在90分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，有10種情況，
而沒有一名是乙班的有1中情況，
則$P（A）=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查概率的求法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．