Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足lna₁+$\frac{{ln{a_2}}}{2}+\frac{{ln{a_3}}}{3}+…+\frac{{ln{a_n}}}{n}$=2n，則數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)的乘積為e^n（n+1）．

Answer 1

分析 利用數(shù)列遞推關(guān)系可得a_n，再利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足lna₁+$\frac{{ln{a_2}}}{2}+\frac{{ln{a_3}}}{3}+…+\frac{{ln{a_n}}}{n}$=2n，
∴n≥2時(shí)，lna₁+$\frac{ln{a}_{2}}{2}$+…+$\frac{ln{a}_{n-1}}{n-1}$=2（n-1），
相減可得：$\frac{ln{a}_{n}}{n}$=2，可得a_n=e²ⁿ．
n=1時(shí)，lna₁=2，可得a₁=e²．
∴數(shù)列{a_n}的前項(xiàng)的乘積=e^2+4+…+2n=${e}^{\frac{n（2+2n）}{2}}$=e^n（n+1）．
故答案為：e^n（n+1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等差數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．