Question

6．如圖（1）在平面六邊形ABCDEF，四邊形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=$\sqrt{2}$，BF=CF=$\sqrt{5}$，點(diǎn)M，N分別是AD，BC的中點(diǎn)，分別沿直線AD，BC將△DEF，△BCF翻折成如圖（2）的空間幾何體ABCDEF．
（1）利用下面的結(jié)論1或結(jié)論2，證明：E、F、M、N四點(diǎn)共面；
結(jié)論1：過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面，有且只有一個；
結(jié)論2：過平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面，有且只有一個．
（2）若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60°，求二面角A-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）分別連結(jié)MN、EM、FN，推導(dǎo)出AD⊥平面EMN，BC⊥平面FMN，由結(jié)論1得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．再由AD、BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，利用結(jié)論2得到平面EMN和平面FMN重合，由此能證明E、F、M、N四點(diǎn)共面．
（2）分別過點(diǎn)E、F作平面ABCD的垂線，分別交MN于點(diǎn)E′，F(xiàn)′，以E′為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過E′作MN的垂線為x軸，E′N為y軸，E′E為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BE-F的余弦值．

解答 證明：（1）分別連結(jié)MN、EM、FN，
則由題意知：
①AD⊥MN，AD⊥EM，
∵M(jìn)N、EM?平面EMN，∴AD⊥平面EMN．
②BC⊥MN，BC⊥FN，
∵M(jìn)N，F(xiàn)N?平面FMN，∴BC⊥平面FMN．
由結(jié)論1：過空間一點(diǎn)作已知直線的垂面，有且只有一個，
得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．
又∵AD、BC?平面ABCD，MN?平面ABCD，
由結(jié)論2：過平面內(nèi)一條直線作該平面的垂面，有且只有一個，
得到過MN垂直于平面ABCD的面是唯一的，
∴平面EMN和平面FMN重合，
∴E、F、M、N四點(diǎn)共面．
解：（2）分別過點(diǎn)E、F作平面ABCD的垂線，分別交MN于點(diǎn)E′，F(xiàn)′，
則∠EME′=∠FNF′=60°，由題意可知：EM=1，F(xiàn)N=2，
∴ME′=$\frac{1}{2}$，EE′=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，NF′=1，F(xiàn)F′=$\sqrt{3}$，E′F′=$\frac{5}{2}$，${E}^{'}N=\frac{7}{2}$，
以E′為原點(diǎn)，在平面ABCD內(nèi)過E′作MN的垂線為x軸，E′N為y軸，E′E為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，-$\frac{1}{2}$，0），B（1，$\frac{7}{2}$，0），E（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F(xiàn)（0，$\frac{5}{2}$，$\sqrt{3}$），
$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{EA}$=（1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EF}$=（0，$\frac{5}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{EB}$=（1，$\frac{7}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EA}=x-\frac{1}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，2$），
設(shè)平面BEF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EF}=\frac{5}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EB}=a+\frac{7}{2}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取c=-5，得$\overrightarrow{m}$=（-6$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，-5），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{\sqrt{238}}{17}$，
由圖形知二面角A-BE-F是鈍二面角，
故二面角A-BE-F的余弦值為-$\frac{\sqrt{238}}{17}$．

點(diǎn)評 本題考查四點(diǎn)共面的證明，考查二面角、空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．