Question

1．如圖，四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=90°，CB∥DA，AB=20$\sqrt{2}$，DA=10，CB=20，若AB邊上有一點P，使得∠CPD最大，則AP=10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設AP=x，用x表示出PC，PD，使用余弦定理得出cos∠CPD關于x的函數(shù)式，根據(jù)函數(shù)值的符號判斷∠CPD的范圍．

解答 解：設AP=x，則BP=20$\sqrt{2}$-x，（0$≤x≤10\sqrt{2}$）．
∴PD=$\sqrt{{x}^{2}+100}$，PC=$\sqrt{（20\sqrt{2}-x）^{2}+400}$=$\sqrt{{x}^{2}-40\sqrt{2}x+1200}$，
CD=$\sqrt{（20\sqrt{2}）^{2}+（20-10）^{2}}$=30，
在△PCD中，由余弦定理得cos∠CPD=$\frac{P{C}^{2}+P{D}^{2}-C{D}^{2}}{2PC•PD}$
=$\frac{2{x}^{2}-40\sqrt{2}x+400}{2\sqrt{{x}^{2}+100}\sqrt{{x}^{2}-40\sqrt{2}x+1200}}$=$\frac{（x-10\sqrt{2}）^{2}}{\sqrt{{x}^{2}+100}\sqrt{{x}^{2}-40\sqrt{2}x+1200}}$≥0．
∴當x=10$\sqrt{2}$時，cos∠CPD取得最小值0，此時∠CPD=90°．
當x≠10$\sqrt{2}$時，cos∠CPD＞0，此時∠CPD＜90°，
故當x=10$\sqrt{2}$時，∠CPD取得最大值90°．
故答案為10$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了余弦定理，三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．