Question

4．已知函數(shù)f（x）對于任意實數(shù)x滿足條件f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$（f（x）≠0）．
（1）求證：函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
（2）若f（1）=-5，求f（f（5））的值．

Answer 1

分析 （1）分析f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$的特點，可知f（x+2+2）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x），得出結論；
（2）由f（1）=-5，利用周期性和條件可得f（5）=f（1+4）=f（1）=-5，f（1）=-$\frac{1}{f（-1）}$，進而求出f（f（5））=f（-5）=f（-1-4）=f（-1）=$\frac{1}{5}$．

解答 證明：（1）f（x+2+2）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x）．
∴f（x+4）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)；
（2）f（1）=-5，
∴f（5）=f（1+4）=f（1）=-5，f（1）=-$\frac{1}{f（-1）}$，
∴f（f（5））=f（-5）=f（-1-4）=f（-1）=$\frac{1}{5}$．

點評 考查了周期函數(shù)的判斷和利用周期函數(shù)的性質和條件解決實際問題，應熟記題型特點．